在平面中，一个点绕任意点旋转θ度后的点的坐标【百科全说】

假设对图片上任意点(x,y)，绕一个坐标点(rx0,ry0)逆时针旋转a角度后的新的坐标设为(x0, y0)，有公式：
x0= (x - rx0)*cos(a) - (y - ry0)*sin(a) + rx0 ;
y0= (x - rx0)*sin(a) + (y - ry0)*cos(a) + ry0 ;
一下是对这两条公式的证明。

操作方法

01

证：设点（x0,y0）到点（rx0,ry0）的距离为La,点（x,y）到点（rx0,ry0）的距离为Lb 则由图1可得：
02

( x0 - rx0 ) / La = cos（a + b） - ① ( x - rx0 ) / Lb = cos（b） - ② La = Lb - ③ ( y0 - ry0 ) / La = sin（a+b） - ④ ( y - ry0 ) / Lb = sin（b） - ⑤ 当cos（b），cos（a + b）不为零时,由①②③得： (x0- rx0)/ (x-rx0) = cos(a+b)/cos(b) (x0- rx0)/ (x-rx0) = (cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b))/cos(b) (x0- rx0)/ (x-rx0) = cos(a) - sin(a)tan(b) (x0- rx0) = (cos(a) - sin(a)tan(b))(x - rx0) x0 = (x - rx0)cos(a) - sin(a)tan(b)(x - rx0) + rx0 x0 = (x - rx0)cos(a) - (y - ry0)sin(a) + rx0 - A 当sin（b），sin（a + b）不为零时,由③④⑤得： (y0 - ry0)/(y - ry0) = sin(a+b)/sin(b) (y0 - ry0)/(y - ry0) = (sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b))/sin(b) (y0 - ry0)/(y - ry0) = sin(a)cos(b)/sin(b) + cos(a) y0 = (y - ry0)sin(a)cos(b)/sin(b) + (y - ry0)cos(a) + ry0 y0 = (y - ry0)sin(a)(x - rx0)/(y - ry0) + (y - ry0)cos(a) + ry0 y0 = (x - rx0)sin(a) + (y - ry0)cos(a) + ry0 - B ∴当cos（b），cos（a + b）不为零时A、B式成立
03

当cos（a+b）= 0时，即x0 = rx0，a+b = π/2+kπ(k>=0的自然数)如图2：
04

∵cos（a+b）= 0 cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) = 0 tan(a) = 1/tan(b) sin(a)/cos(a) = (x - rx0)/(y - ry0) (x - rx0)cos(a) = (y - ry0)sin(a) 将x0 = rx0式代入A式也得 (x - rx0)cos(a) = (y - ry0)sin(a) ∴当cos（a+b）= 0时A式成立。
05

∵tan(a) = (x - rx0)/(y - ry0) - ⑥ La = Lb = y0 - ry0 - ⑦ 由⑥得 (y - ry0)sin(a)/cos(a) = (x - rx0) (y - ry0)sin²(a)/cos(a) = (x - rx0)sin(a) (y - ry0)(1-cos²(a))/cos(a) = (x - rx0)sin(a) (y - ry0)(1/cos(a)-cos(a)) = (x - rx0)sin(a) (y - ry0)/cos(a)-(y - ry0)cos(a)) = (x - rx0)sin(a) (y - ry0)/cos(a) = (x - rx0)sin(a) +(y - ry0)cos(a)) - ⑧ 由⑦得 (y - ry0)/cos(a) = (x - rx0)/sin(a) = y0 - ry0 y0 = (y - ry0)/cos(a) + ry0 - ⑨ 将⑧代入⑨得： y0 = (x - rx0)sin(a) +(y - ry0)cos(a) + ry0 ∴当cos（a+b）= 0时B式成立。
06

当sin(a) = 0时，即a = π/2+ kπ（k>=0的自然数）如图3所示：
07

∵sin(b) = (x0 - rx0)/La = (y - ry0)/Lb cos(b) = (y0 - ry0)/La = (x - rx0)/Lb 即： x0 - rx0 = y - ry0 y0 - ry0 = x - rx0 得： x0 = y - ry0 + rx0 y0 = x - rx0 + ry0 把a= π/2+ kπ代入A、B两式得： x0 = y - ry0 + rx0 y0 = x - rx0 + ry0 ∴当sin(a) = 0时，A、B两式也成立
08

当cos（b）= 0时，即x = rx0，b = π/2 +kπ(k>=0的自然数)如图4：
09

∵La = Lb = y - ry0 - ⑴ sin（a）= ( x0 - rx0 ) / La - ⑵ cos（a）= ( y0 - ry0 ) / La - ⑶ 由⑴⑵⑶得： x0 = （y - ry0）sin（a）+ rx0 y0 = （y - ry0）cos（a）+ ry0 将b = π/2+kπ 代入A、B两式也得 x0 = （y - ry0）sin（a）+ rx0 y0 = （y - ry0）cos（a）+ ry0 ∴当cos（b）= 0时，符合A、B两式。
10

当sin(a+b) = 0时，即y0 = ry0，a+b = π+kπ(k>=0的自然数),如图5所示：
11

∵sin(a+b) = 0 ∴sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) = 0 tan(a) + tan(b) = 0 sin(a)/cos(a) + (y - ry0)/(x - rx0) = 0 (x - rx0)sin(a) + (y - ry0)cos(a) = 0 将y0 = ry0 代入B式也得： (x - rx0)sin(a) + (y - ry0)cos(a) = 0 ∴当sin（a+b）= 0时A式成立。
12

∵tan(a) = tan(π- b) = - tan(b) = -(y - ry0)/(x - rx0) - ⑷ La = Lb = rx0 - x0 - ⑸ 由 ⑷ 得： tan(a) = -(y - ry0)/(x - rx0) (x - rx0)sin(a)/cos(a) = -(y - ry0) (x - rx0)sin²(a)/cos(a) = -(y - ry0)sin(a) (x - rx0)(1-cos²(a))/cos(a) = -(y - ry0)sin(a) (x - rx0)/cos(a)-(x - rx0)cos(a) = -(y - ry0)sin(a) (x - rx0)/cos(a) = (x - rx0)cos(a)-(y - ry0)sin(a) - ⑹ 由 ⑸ 得：（y - ry0)/sin(b) = (x - rx0)/cos(b) = rx0 - x0 x0 = rx0 - (x - rx0)/cos(b) x0 = rx0 - (x - rx0)/cos(π-a) x0 = rx0 + (x - rx0)/cos(a) - ⑺ 把 ⑹ 代入 ⑺ 得： x0 = (x - rx0)cos(a)-(y - ry0)sin(a) + rx0 ∴当sin（a+b）= 0时B式成立。
13

综上所述，对图片上任意点(x,y)，绕一个坐标点(rx0,ry0)逆时针旋转a角度后的新的坐标设为(x0, y0)，有公式： x0= (x - rx0)*cos(a) - (y - ry0)*sin(a) + rx0 ; y0= (x - rx0)*sin(a) + (y - ry0)*cos(a) + ry0 ;

在平面中，一个点绕任意点旋转θ度后的点的坐标

操作方法

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